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Análisis matemático I

 

 

Unidad 1: Funciones

Intervalos de números reales. Entorno. Entorno reducido de un punto. Punto de acumulación. Valor absoluto o módulo de un número real. Propiedades del valor absoluto o módulo. Dominio de funciones. Diagramas y gráficos cartesianos de una relación. Funciones escalares. Dominio e imagen. Raíces, orden de multiplicidad. Conjuntos de ceros, de positividad y de negatividad. Crecimiento y decrecimiento. Funciones par e impar. Clasificación de funciones: inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. Función inversa. Función lineal:. Pendiente. Ordenada al origen. Paralelismo y perpendicularidad entre rectas. Función cuadrática. Raíces. Factoreo del polinomio de 2° grado. Coordenadas del vértice. Corrimientos. Dominio, gráfico, imagen, ordenada al origen, raíces, intervalos de positividad y negatividad. Función polinómica. Teorema fundamental del álgebra. Factoreo. Multiplicidad de raíces. Análisis de la función (dominio, imagen, ceros, crecimiento, decrecimiento, conjunto de positividad y negatividad, intersección con eje de ordenadas). Funciones a) signo b) valor absoluto o módulo: Análisis de las mismas. Funciones trascendentes: logarítmica y exponencial. Corrimientos. Análisis de las mismas. Función inversa. Funciones: irracional cuadrática () y Análisis de las mismas Funciones trigonométricas análisis de las mismas Condición de posibilidad. Restricciones necesarias. Uso de software matemático

Unidad 2: Límite

Introducción al concepto de límite funcional. Definición de límite. Interpretación gráfica. Límite de las funciones constante, lineal y cuadrática. No existencia del límite. Límites laterales. Propiedades de los límites finitos. Unicidad del límite.. Límite de la suma y de la resta de dos funciones. Infinitésimo. Límite del producto entre una función acotada y un infinitésimo. Límite del producto y del cociente entre dos funciones. Límite del logaritmo. Límite infinito (para ). . Límite finito para . Límite infinito para . El número e. Distintos tipos de indeterminaciones. Cálculo de límites. Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas. Función racional. Análisis de las mismas. Caso particular función Homográfica Gráfico aproximado de funciones con informaciones previas adecuadas. Uso de software matemático.

Unidad 3: Continuidad

Continuidad. Función continúa en un punto. Discontinuidades: evitables y esenciales. Continuidad de funciones compuestas. Uso de software matemático

Unidad 4: Derivadas

Derivada. Derivada de una función en un punto. Notación. Función derivada. Continuidad de una función derivable. Derivada de la suma, diferencia, producto y cociente de dos funciones. Derivada de funciones compuestas. Regla de la cadena. Deducción de la derivada de las siguientes funciones: constante, idéntica, cuadrática, cúbica, (potencial). Derivada de funciones inversas. Derivada de funciones definidas implícitamente. Derivadas sucesivas. Interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto. Aplicaciones físicas y geométricas de la derivada. Ecuación de las rectas tangente y normal. Diferencial de una función. Extremos relativos o locales de una función. Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Criterios para determinar extremos relativos o locales. Caso dudoso. Puntos de inflexión. Intervalos de concavidad y convexidad. Estudio completo de una función. Regla de L’Hopital. Uso de software matemático.

Unidad 5: Integrales

Primitivas. Integración inmediata. Integración por sustitución. Integración por partes. Integración de funciones racionales (descomposición en fracciones simples). Integral definida, interpretación geométrica, área de recintos planos. Propiedades. Función integral (su derivada). Regla de Barrow. Área de recintos limitados por dos o más curvas.

Recursos

En todas las unidades curriculares se utiliza software educativo como medio de acceso a los contenidos.

Bibliografía

-CÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA. 8va edición. E. Purcell y D. Varberg. Edit. Pearson (Prentice Hall). 2006
-UNDERSTANDING PURE MATHEMATICS. Sadler y D. Thorning. Oxford University Press. 1998
-ADDITIONAL MATHEMATICS. Morrison-Hughes. Ed. John Murray
-MATHÉMATIQUES ELEMENTAIRES. 2da edición. C. Breárd. Ed. L’Ecole. 1963. París V
-ELEMENTOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. Sadosky-Guber. Ed. Alsina 1956
-CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. 3era edición. Ayres. Serie Schaum. Mc Graw Hill