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Análisis Matemático I

 

Unidad 1 – Número Real 
El número real. Cotas, supremo, ínfimo, máximo y mínimo de un conjunto de números reales. Valor absoluto de un número real. Propiedades. Intervalos. Entorno y entorno reducido

Unidad 2 – Funciones 
Relaciones funcionales. Dominio. Recorrido. Clasificación. Función inversa. Función lineal, cuadrática, homográfica, exponencial, logarítmica, trigonométrica, hiperbólicas, trigonométricas inversa e hiperbólicas inversas. Composición de funciones. Función valor absoluto, signo, parte entera, mantisa.

Unidad 3 – Límite funcional y continuidad 
Límite finito en un punto. Infinitésimos. Propiedades de los límites. Límites laterales. Límite infinito. Límite de variable infinita. Indeterminaciones en el límite.
Continuidad. Continuidad en un punto y en un conjunto. Discontinuidades. Teorema relativos a funciones continuas en un intervalo cerrado (Bolzano, Weierstrass)
Asíntotas
Unidad 4 - Derivabilidad de funciones 
Derivada de una función en un punto, interpretación geométrica y física. Relación entre derivabilidad y continuidad. Álgebra de derivadas Derivada de una función compuesta. Derivada logarítmica. Derivada de funciones inversas. Diferencial. Aproximación lineal. Cálculo aproximado de errores. Derivada de funciones definidas en forma implícita y en paramétricas. Aplicaciones geométricas y físicas.

Unidad 5 – Teoremas relativos a las funciones derivables. Aplicaciones de la derivabilidad 
Teorema de Rolle. Teorema de Lagrange. Funciones crecientes y decrecientes. Relación entre el signo de la derivada primera y el crecimiento o decrecimiento de una función en un punto y en un intervalo. Extremos relativos y absolutos. Concavidad. Puntos de inflexión. Relación entre el signo de la derivada segunda y la concavidad
Regla de L’Hôpital, cálculo de límites indeterminados

Unidad 6 – Fórmula de Taylor 
Desarrollo de un polinomio de grado n en potencias de (x-c). Polinomio de Taylor. Fórmula de Taylor. Término complementario, fórmula de Lagrange

Unidad 7 - Integral indefinida 
Primitiva. Integrales inmediatas. Métodos de integración: sustitución, partes, descomposición en fracciones simples, integración de potencias de seno y coseno y producto de potencias de seno y coseno

Unidad 8 – Integral definida – 
Sumas superiores e inferiores- Integral de Riemann. Propiedades de la integral definida. Teorema del valor medio del cálculo integral. Función Integral. Teorema fundamental del Cálculo integral. Regla de Barrow.
Aplicaciones geométricas de la integral definida: cálculo de áreas planas, volumen de sólidos de revolución, longitud de arco
Aplicaciones físicas: desplazamiento y distancia total recorrida en un intervalo de tiempo Centro de gravedad.
Integrales impropias de 1° y 2° especie

Unidad 9 - Sucesiones y series - 
Sucesiones numéricas. Límite de un sucesión. Series numéricas. Suma de una serie
Condición necesaria de convergencia. Serie armónica. Serie p. Series alternadas. Criterio de Leinitz. Convergencia absoluta y condicional. Criterios para series de términos positivos.
Series de potencias. Radio e intervalo de convergencia. Desarrollo de una función en series de potencias. Serie de Taylor y de Mc Laurin