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Análisis Matemático III

 

PROGRAMA 

Unidad 1: Plano Complejo 
Revisión de números complejos. Topología en el plano complejo.

Unidad nº2: Funciones complejas 
Límite y continuidad. Derivada y diferencial. Analiticidad. Condiciones necesarias de analiticidad: Teorema de Cauchy-Riemann. Condiciones suficientes de analiticidad. Condiciones necesarias y suficientes de derivabilidad. Ceros y puntos singulares.
Funciones armónicas. Familia ortogonal.

Unidad nº3: Transformación conforme 
Concepto y enunciado del teorema de la transformación conforme.

Unidad nº4: Integración compleja 
Definición de contorno. Integrales indefinidas y de contorno. Teorema de Cauchy y sus corolarios. Fórmula integral de Cauchy.

Unidad nº5: Serie de potencias 
Teorema de Taylor y Mac Laurin. Radio y región de convergencia. Teorema de Laurent. Definición de residuo. Teorema de los residuos. Integrales reales.

Unidad nº6: Transformada de Laplace 
Definición. Propiedades. Transformada de Laplace de funciones elementales. Primer y Segundo teorema de desplazamiento. Antitransformada. Métodos para antitransformar. Inversión compleja (Teorema de Riemann-Mellin). Resolución de ecuaciones diferenciales mediante la transformada de Laplace. Convolución: definición y propiedades. Teorema de convolución. Sistema de ecuaciones diferenciales. Delta de Dirac: propiedades. Transformadas de pulsos.

Unidad nº7: Ecuaciones diferenciales a coeficientes variables 
Método de Fuch.