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Análisis Matemático I

 

Unidad 1: CONJUNTOS DE PUNTOS

El número real. Cotas, extremos, máximo y mínimo de un conjunto de números reales. Valor absoluto de un número real. Propiedades. Intervalos. Entornos y entornos reducidos. Puntos interiores y puntos de acumulación.


Unidad 2: FUNCIONES

Relaciones funcionales. Definición. Dominio e imagen. Clasificación. Función inversa. Álgebra de funciones. Composición de funciones. Representación gráfica de funciones: constante, identidad, lineal, valor absoluto, signo, parte entera, mantisa, polinómicas, homográficas, exponenciales y logarítmicas, trigonométricas, hiperbólicas.


Unidad 3: LÍMITE FUNCIONAL – CONTINUIDAD

Límite funcional: límite finito de una función en un punto. Definición. No existencia del límite. Propiedades de límites finitos. Álgebra de límites. Límites laterales. Límite infinito y límite en el infinito. Generalización del concepto de límite. Infinitésimos. Propiedades de los infinitésimos. Comparación de infinitésimos. Indeterminaciones del límite. Continuidad. Función continua en un punto. Álgebra de funciones continuas. Discontinuidades. Clasificación de discontinuidades. Continuidad en un intervalo. Teoremas asociados a las funciones continuas. Asíntotas lineales.


Unidad 4: DERIVADA

Derivada de una función en un punto. Definición. Derivadas laterales. Puntos de no derivabilidad. Función derivada. Continuidad de una función derivable. Álgebra de derivadas. Derivada de una función compuesta. Derivada de funciones inversas. Aplicación geométrica de la derivada. Recta tangente y recta normal. Derivada de una función definida implícita ó paramétricamente. Derivadas sucesivas. Deferenciales. Aproximación lineal.


Unidad 5: APLICACIONES DE LA DERIVADA

Estudio completo de una función. Propiedades de las funciones derivables. Teorema de Rolle. Teorema del valor medio del cálculo diferencial: Teorema de Lagrange. Teorema de Cauchy. Funciones monótonas. Criterios para determinar extremos locales y absolutos. Problemas de optimización. Punto de inflexión. Concavidad. Límites indeterminados. Regla de L’Hopital.


Unidad 6: POLINOMIOS DE TAYLOR

Polinomios de Taylor y de Mac Laurin. Fórmulas de Taylor y de Mac Laurin. Aproximación de funciones utilizando polinomios de Taylor.


Unidad 7: INTEGRAL INDEFINIDA

Primitiva. Integral inmediata. Métodos de integración: por sustitución, por partes, integración de funciones racionales e irracionales, integración de funciones trigonométricas.


Unidad 8: INTEGRAL DEFINIDA E IMPROPIA

Sumas inferiores y superiores. Integral de Riemann. Definición. Propiedades de la integral definida. Teorema del valor medio del cálculo integral. Función integral. Teorema Fundamental del cálculo integral. Regla de Barrow. Aplicaciones de la integral. Cálculo de áreas. Integrales impropias de primera y de segunda especie.

 

Bibliografía

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