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Análisis Matemático III

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UNIDAD I: Análisis vectorial. Teoremas sobre integrales.

Revisión de integrales dobles, triples, curvilíneas y de superficie. Coordenadas polares, cilíndricas y esféricas. Campos conservativos, propiedades. Definición de rotor y divergencia. Propiedades. Campos irrotacionales y solenoidales. Teoremas de Green, Gauss y Stokes. Aplicaciones.


UNIDAD II: Ecuaciones diferenciales ordinarias.

Concepto y elementos de una ecuación diferencial. Solución general y particular. Obtención de una ecuación diferencial dada su solución. Variables separables: fundamentación y aplicación. Funciones homogéneas: definición. Ecuaciones diferenciales homogéneas y reducibles a homogéneas: método de resolución y fundamentación. Ecuaciones diferenciales totales exactas y reducibles a exactas: método de resolución y fundamentación. Ecuaciones diferenciales lineales: métodos de resolución y fundamentación. Trayectorias ortogonales. Problemas de aplicación. Ecuaciones diferenciales de segundo orden. Ecuación característica. Dependencia e independencia lineal de funciones. Wronskiano. Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden incompletas. Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden completas: método de variación de parámetros y coeficientes indeterminados, fundamentación. Teorema de existencia y unicidad de la solución de una ecuación diferencial.


UNIDAD III: Transformada de Laplace

Definición. Propiedades: enunciado y demostración. Transformada de Laplace de funciones elementales. Primer y Segundo teorema de desplazamiento: enunciados y demostraciones. Antitransformada. Uso de las fracciones simples en la antitransformación. Resolución de ecuaciones diferenciales mediante la transformada de Laplace. Convolución: definición y propiedades. Teorema de convolución. Sistema de ecuaciones diferenciales. Delta de Dirac: propiedades. Transformadas de pulsos.


UNIDAD IV: Sucesiones y series numéricas. Series de funciones y de potencias.

Concepto y elementos de una sucesión. Definición de límite de una sucesión. Convergencia. Sucesiones convergentes, divergentes y oscilantes. Propiedades de las sucesiones convergentes. Álgebra de límites. Sucesiones monótonas: definiciones y propiedades. Sucesiones definidas por recurrencia. El número e. Aplicaciones. Concepto y elementos de una serie numérica. Suma de la serie. Convergencia: condiciones necesarias. Álgebra de series. Serie geométrica, armónica, telescópica y serie p. Criterios de convergencia para series de términos no negativos: comparación, comparación por límite, D’Alembert, Cauchy, Raabe y criterio de la integral. Series alternadas: definición y criterio de Leibnitz. Convergencia absoluta y condicional. Reordenamiento de una serie. Serie de funciones. Convergencia. Serie de potencias. Convergencia: Radio e intervalo de convergencia. Propiedades. Serie de Taylor y de Mac Laurin. Término complementario.


UNIDAD V: Funciones de variable compleja.

Definición. Límite, continuidad y derivadas de una función de variable compleja. Analiticidad. Condiciones necesarias y suficientes de analiticidad. Ecuaciones de Cauchy – Riemann. Integrales complejas. Teorema de Cauchy. Fórmula integral de Cauchy. Series de Laurent. Residuos.


UNIDAD VI: Transformada de Fourier

Definición. Propiedades de linealidad, escalonamiento, desplazamiento y simetría. Transformada de la derivada. Producto de convolución. Transformada de Fourier de funciones especiales. Aplicaciones al análisis de señales y a la resolución de ecuaciones diferenciales parciales.


Bibliografía

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