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Algebra III

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El eje central de la materia será el estudio de los números reales. Este estudio puede hacerse desde tres puntos de vista: el aspecto algebraico, el aspecto topológico y el aspecto conjuntista. Por supuesto, estos tres aspectos no existen aisladamente, sino que se superponen y dependen unos de los otros. En el primer cuatrimestre se estudiarán los aspectos algebraico y topológico; en el segundo cuatrimestre, el conjuntista.

La siguiente es una descripción más amplia de los contenidos:


Eje algebraico.

1) Axiomas de la suma y el producto de los números reales. Axiomas del orden. Demostraciones de propiedades elementales a partir de esos axiomas.

2) Análisis de la estructura de cuerpo ordenado. Otros ejemplos de cuerpo: los números complejos y Zp. Cuerpos de característica cero y de característica p. Cuerpos algebraicamente cerrados. Los cuaterniones de Hamilton.

3) Estructura de grupo. Ejemplos: (R,+), (Q,+), (Z,+), (R^+,·), etc. Grupos de raíces n-ésimas de la unidad. Subgrupos, homomorfismos, isomorfismos. Grupos de permutaciones. Grupo de Galois. Grupos cíclicos.


Eje topológico.

4) Axiomas de completitud. Densidad de Q. Números algebraicos y trascendentes. Construcciones con regla y compás.


Eje conjuntista.

5) Cardinalidad. Conjuntos numerables y no numerables. Hipótesis del continuo.

6) Operaciones con cardinales: suma, producto, potencia.


Bibliografía

• FAVA, N.; 178, El Número; Matemática Preuniversitaria, Buenos aires.
• FRALEIGH, J.; 1987, Álgebra Abstracta; Addison-Wesley Iberoamericana, EE.UU.
• GENTILE, E.; 1986, Notas de Álgebra I; Eudeba, Buenos Aires.
• HERSTEIN, I.N.; 1994; Álgebra Moderna; Editorial Trillas, México, 1994.

Bibliografía para el eje topológico.
• APOSTOL, Tom; Calculus; 1999; Reverté, España, 1999.
• KASNER, E.; NEWMAN, J.; 1988, Matemática e imaginación; Hyspamérica, Bs. As.
• MARTINÓN, A. (Compilador); 2000, Las Matemáticas del siglo XX; Nivola.
• RUDIN, W.; 1964, Principios de Análisis Matemático; Mc Graw-Hill.

Bibliografía para el eje conjuntista.
• OUBIÑA, L.; 1974, Introducción a la Teoría de Conjuntos; Eudeba, Buenos Aires.
• PIÑEIRO, G.; El infinito y más allá. (Apunte de cátedra inédito)
• RUDIN, Walter; 1980; Principios de Análisis Matemático; Mc-Graw-Hill, México.